Question

已知點P在雙曲線上，且它到雙曲線一個焦點F的距離是1．
（1）求雙曲線方程；  
（2）過F的直線L₁交雙曲線于A，B兩點，若弦長|AB|不超過4，求L₁的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點P 在雙曲線 上，
且它到雙曲線一個焦點F的距離是1，
∴ =1，即c= ，
設雙曲線方程為 ，
把點P 代入，得 ，
整理，得a⁴﹣5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴雙曲線方程是x²﹣y²=1．
（2）∵雙曲線方程是x²﹣y²=1，∴F（ ），
∴直線L₁的方程是： ，
由 ，得（1﹣k²）x²+ ，
當k=±1時，直線 與雙曲線的漸近線平行，弦長為0，成立．
當k≠±1時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ， ，
|AB|= ≤4，
∴（1+k²） ≤16，
整理，得3k⁴﹣10k²+3≥0，解得k²≥3，或 ，
∴ ，或 ，或 ，
綜上所述，L₁的斜率的取值范圍是{k| ，或 ，或 ，或k=±1}．