Question

【題目】已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），.數(shù)列滿足：.

（1）求的值；

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）問(wèn)：數(shù)列的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出k的所有可能值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ； (3) k為1，2時(shí)數(shù)列是整數(shù)列.

【解析】

（1）經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：，由數(shù)列滿足：（n＝1，2，3，4…），從而可求；
（2）由條件可知．得，兩式相減整理得，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，則由（2）可知：
，由，，可求得．證明時(shí)，滿足題意，說(shuō)明時(shí)，數(shù)列是整數(shù)列．

（1）由已知可知：，

把數(shù)列的項(xiàng)代入

求得；

（2）由

可知：①

則：②

①②有：，

即：

…，…，

；

（3）假設(shè)存在正數(shù)k使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，

則由（2）可知：③，

由，，可知，2.

當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，利用結(jié)合③式可知的每一項(xiàng)均為整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，③變?yōu)?/span>④

用數(shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù).

時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，

這時(shí)為偶數(shù)，為整數(shù)，

故為偶數(shù)，為整數(shù)，

時(shí)，命題成立.

故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述k為1，2時(shí)數(shù)列是整數(shù)列.