Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若，求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≥1恒成立，求證：f（x）≤g（x）．

Answer 1

（1）解：當(dāng)時(shí)，（x＞0），
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，
∴F（x）的增區(qū)間為（0，2），減區(qū)間為（2，+∞）；
（2）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-a（x²+x）（x＞0），
則由，
解得．
∴當(dāng)x∈時(shí)，h^′（x）＞0，h（x）在上增，
當(dāng)x∈時(shí)，h^′（x）＜0，h（x）在上減．
∴當(dāng)時(shí)，h（x）有極大值，
∵a≥1，∴，，∴．
而h（x）在（0，+∞）上的極大值也就是最大值．
∴，所以f（x）≤g（x）．
分析：（1）把a(bǔ)的值代入，求出函數(shù)F（x）的定義域，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求解x的取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求解x的取值范圍，得其減區(qū)間；
（2）構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在其定義域內(nèi)的最大值，由a的范圍得到其最大值小于等于0，從而問(wèn)題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法比較兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值大小，在公共定義域范圍內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)的函數(shù)恒小于0，說(shuō)明被減函數(shù)的函數(shù)值恒小于減函數(shù)的函數(shù)值，此題是中檔題．