Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）+$\frac{n}{2（n+1）}$（n≥1）．

Answer 1

分析 （1）化簡可得a（x-1）²≥xlnx-x+1在[1，+∞）上恒成立，討論，當(dāng)x＞1時，可化為a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$恒成立；從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，化簡可得$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2x}$≥lnx在[1，+∞）上恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）；從而可得$\frac{1}{2}$（$\frac{n+1}{n}$-$\frac{n}{n+1}$）＞ln$\frac{n+1}{n}$，從而化簡證明即可．

解答 解：（1）由題意得，
ax+$\frac{a-1}{x}$+（1-2a）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
即a（x+$\frac{1}{x}$-2）≥lnx+$\frac{1}{x}$-1在[1，+∞）上恒成立，
即a（x-1）²≥xlnx-x+1在[1，+∞）上恒成立，
當(dāng)x=1時，恒成立；
當(dāng)x＞1時，可化為a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$恒成立；
令F（x）=$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$，
則F′（x）=$\frac{（xlnx-x+1）′（x-1）^{2}-（xlnx-x+1）[（x-1）^{2}]′}{（x-1）^{4}}$=$\frac{2x-lnx-xlnx-2}{（x-1）^{3}}$，
令g（x）=2x-lnx-xlnx-2，則g′（x）=2-$\frac{1}{x}$-lnx-1=1-$\frac{1}{x}$-lnx，
g″（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
故g′（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，而g′（1）=0，
故g′（x）≤0，
故g（x）=2x-lnx-xlnx-2＜g（1）=0，
故F′（x）＜0，
故F（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{lnx+1-1}{2（x-1）}$
=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{lnx}{2（x-1）}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{\frac{1}{x}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$；
綜上所述，a≥$\frac{1}{2}$；
（2）證明：當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，∵f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2x}$≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）；
令x=$\frac{n+1}{n}$＞1（n∈N^*），
則$\frac{1}{2}$（$\frac{n+1}{n}$-$\frac{n}{n+1}$）＞ln$\frac{n+1}{n}$，
即$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）＞ln$\frac{n+1}{n}$，
即$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{2}{1}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）+ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+ln$\frac{n+1}{n}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=ln（n+1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=ln（n+1）+$\frac{n}{2（n+1）}$（n≥1）．
故1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）+$\frac{n}{2（n+1）}$（n≥1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題及極限問題，屬于難題．