（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
與
a
-k
b
大小相等（其中k為非零實數(shù)），求β-α．
分析：（1）由條件求出
a
+
b
與
a
-
b
的坐標(biāo)，計算(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的值等于零，從而證得結(jié)論．
（2）先求出k
a
+
b
與
a
-k
b
的解析式，由|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），求得cos（β-α）=0從而得到β-α的值．
解答：解：（1）由
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，
得
a
+
b
=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，
a
-
b
=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，
又(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0．
∴(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)．
（2）∵k
a
+
b
=(kcosα+cosβ，ksinα+sinβ)，
∴|k
a
+
b
|=
k2+2kcos(β-α)+1
，
同理∴|
a
-k
b
|=
1-2kcos(β-α)+k2
，
由|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），
又k≠0，所以cos（β-α）=0，因0＜α＜β＜π，所以β-α=
π
2
．
點評：本題主要考查兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的條件，求向量的模的方法，屬于中檔題．
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π
4
)=
4
5
，
π
4
＜α＜
3π
4
，則cos2α的值是（　�。�

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