【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為等腰梯形,,,,,分別是的中點.
(1)證明:直線平面;
(2)求直線與面所成角的大;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【解析】
(1)取的中點,證明為平行四邊形,且,再由三角形中位線證明,最后由線面平行的判定定理證明即可;
(2)作交于點,由線面垂直關(guān)系得到直線與面所成角為,再根據(jù)是正三角形求解即可;
(3)由(2)知,平面,再證明和分別垂直于,求出直線與面所成角為,再求出和的長度即可求解.
(1)在直四棱柱中,取的中點,連接,,,
因為,,且,所以為平行四邊形,所以,
又因為分別是棱的中點,
所以,所以,
因為.所以四點共面,
所以平面,又因為平面,
所以直線平面.
(2)因為,,是棱的中點,
所以,為正三角形,
取的中點,則,
又因為直四棱柱中,平面,所以,
所以平面,即直線與面所成角為,
所以,即,
所以直線與面所成角為.
(3)過在平面內(nèi)作,垂足為,連接.
因為面,即,
且與相交于點,故且,
則為二面角的平面角,
在正三角形中,,
在中,,
∵,∴,
在中,,
,
所以二面角的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知下列命題:
①在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)越接近于1,表示回歸效果越好;
②兩個變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1;
③在回歸直線方程中,當解釋變量每增加一個單位時,預報變量平均減少0.5個單位;
④兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.
⑤回歸直線恒過樣本點的中心,且至少過一個樣本點;
⑥若的觀測值滿足≥6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;
⑦從統(tǒng)計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤. 其中正確命題的序號是__________.
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【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),制表如圖:
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下:甲公司規(guī)定每件4.5元;乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);
(2)為了解乙公司員工B的每天所得勞務(wù)費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務(wù)費記為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望;
(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費.
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【題目】某機構(gòu)對某市工薪階層的收入情況與超前消費行為進行調(diào)查,隨機抽查了200人,將他們的月收入(單位:百元)頻數(shù)分布及超前消費的認同人數(shù)整理得到如下表格:
月收入(百元) | ||||||
頻數(shù) | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
認同超前消費的人數(shù) | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認為當月收入以8000元為分界點時,該市的工薪階層對“超前消費”的態(tài)度有差異;
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 總計 | |
認同 | |||
不認同 | |||
總計 |
(2)若從月收入在的被調(diào)查對象中隨機選取2人進行調(diào)查,求至少有1個人不認同“超前消費”的概率.
參考公式:(其中).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】如圖,四邊形為正方形,四邊形為矩形,且平面與平面互相垂直.若多面體的體積為,則該多面體外接球表面積的最小值為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中a為常數(shù).
(1)當a=1時,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值為-2,求a的值.
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【題目】在二項式的展開式中,前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列。
(1)求展開式的第四項;
(2)求展開式的常數(shù)項;
(3)求展開式中各項的系數(shù)和.
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