已知,函數(shù)
.
(Ⅰ)當時,
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關于的不等式
在區(qū)間
上有解,求
的取值范圍;
(Ⅱ)已知曲線在其圖象上的兩點
,
(
)處的切線分別為
.若直線
與
平行,試探究點
與點
的關系,并證明你的結論.
(Ⅰ)(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2)
;(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)(1)根據(jù)求出
的值,然后利用
,得到函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,從而寫出其單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,將不等式化簡,整理為
在區(qū)間
上有解問題,可以反解
,利用不等式
在區(qū)間
上有解,即
大于等于其最小值,轉化為求
在區(qū)間
上的最小值,
(Ⅱ)的對稱中心為
,故合情猜測,若直線
與
平行,則點
與點
關于點
對稱.然后對猜測進行證明,首先求其兩點處的導數(shù),即兩切線的斜率,利用平行及斜率相等,證明
,
.
試題解析:(Ⅰ)(1)因為,所以
, 1分
則,
而恒成立,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
. 4分
(2)不等式在區(qū)間
上有解,
即不等式在區(qū)間
上有解,
即不等式在區(qū)間
上有解,
等價于不小于
在區(qū)間
上的最小值. 6分
因為時,
,
所以的取值范圍是
. 9分
Ⅱ.因為的對稱中心為
,
而可以由
經(jīng)平移得到,
所以的對稱中心為
,故合情猜測,若直線
與
平行,
則點與點
關于點
對稱. 10分
對猜想證明如下:
因為,
所以,
所以,
的斜率分別為
,
.
又直線與
平行,所以
,即
,
因為,所以,
, 12分
從而,
所以.
又由上 ,
所以點,
(
)關于點
對稱.
故當直線與
平行時,點
與點
關于點
對稱. 14分
考點:1.利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間;2.導數(shù)的幾何意義的綜合問題.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省武漢市高三下學期4月調(diào)研測試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB=1,為△ABC內(nèi)一點,過點P分別引三邊的平行線,與各邊圍成以P為頂點的三個三角形(圖中陰影部分),則這三個三角形的面積和的最小值為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省宜昌示范教學協(xié)作體高一下學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,如果
,那么
等于( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省天門市畢業(yè)生四月調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
設函數(shù)的圖象與直線
軸所圍成的圖形的面積稱為
在
上的面積,則函數(shù)
上的面積為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省天門市畢業(yè)生四月調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的零點所在區(qū)間為( )
A.(0,) B.(
,
) C.(
,1) D.(1,2)
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省天門市畢業(yè)生四月調(diào)研考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù). 若關于
的不等式
的解集為空集,則實數(shù)
的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省天門市畢業(yè)生四月調(diào)研考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設平面向量,
,其中
記“使得
成立的
”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北省七市(州)高三年級聯(lián)合考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
將長度為的線段分成
段,每段長度均為正整數(shù),并要求這
段中的任意三段都不能構成三角形.例如,當
時,只可以分為長度分別為1,1,2的三段,此時
的最大值為3;當
時,可以分為長度分別為1,2,4的三段或長度分別為1,1,2,3的四段,此時
的最大值為4.則:
(1)當時,
的最大值為________;(2)當
時,
的最大值為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年浙江省高三高考模擬沖刺卷(提優(yōu)卷)(二)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù),若關于
的方程
有三個不同的實根,則實數(shù)
的取值范圍是_.
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