矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設(shè)直線與,與,與的交點依次為.

（1）求以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；

（2）根據(jù)條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.

（3）設(shè)線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

試題分析：根據(jù)長軸長,短軸長,可求出橢圓的方程；根據(jù)點的坐標可寫出直線的方程，同理也可寫出直線的方程，再求出它們的交點的坐標，驗證在橢圓上即可得證；類比（2）的結(jié)論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．

試題解析：

根據(jù)題意可知，橢圓的焦點在軸上，可設(shè)其標準方程為，

因為長軸長,短軸長，所以，

所以所求的橢圓的標準方程為：．

由題意知，

可得直線的方程為，直線的方程為，

聯(lián)立可解得其交點，將的坐標代入橢圓方程成立，即點在橢圓上得證．

另法：設(shè)直線、交點，

由三點共線得：                  ①

由三點共線得：             ②

①②相乘，整理可得，即

所以L在橢圓上．

（3）類比（2）的結(jié)論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．

考點：本題考查了直線的方程，橢圓的方程的求解方法，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2
2
，離心率e=
2
2
，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）若以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓T的中心在坐標原點，一條準線方程為y=2，且經(jīng)過點（1，0）．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)四邊形ABCD是矩形，且四條邊都與橢圓T相切．
①求證：滿足條件的所有矩形的頂點在一個定圓上；
②求矩形ABCD面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆安徽池州第一中學高二上學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設(shè)直線與,與,與的交點依次為.

（1）以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；

（2）根據(jù)條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.

（3）設(shè)線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆河南靈寶第三高級中學高二上學期第三次質(zhì)量檢測理數(shù)學（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

 

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