Question

如圖，四面體OABC的三條棱OA、OB、OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，D為四面體OABC外一點(diǎn)．給出下列命題．
①不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形
②不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐
③存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等
④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上
其中真命題的序號(hào)是

③④

．

Answer 1

分析：對(duì)于①可構(gòu)造四棱錐CABD與四面體OABC一樣進(jìn)行判定；
對(duì)于②，使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐；
對(duì)于③取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等；
對(duì)于④先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r，可判定④的真假．

解答：解：對(duì)于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=

13

，AB=2

2

當(dāng)四棱錐CABD與四面體OABC一樣時(shí)，即取CD=3，AD=BD=2，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，
此時(shí)點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形，故①不正確；
對(duì)于②，由①知AC=BC=

13

，AB=2

2

，
使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，CD=

13

，使四面體C-ABD是正三棱錐，故②不正確；
對(duì)于③，取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確；
對(duì)于④，先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可
∴存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題．