Question

15．已知橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，點P的坐標為$（1，\frac{3}{2}）$，一條不過點P直線l：y=kx+b交橢圓于A，B，PA⊥PB，且AB被y軸平分，則直線l的方程為y=$±\frac{3}{2}$x．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯立化為：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，△＞0，由AB被y軸平分，可得x₁+x₂=0，因此kb=0．k=0或b=0．由PA⊥PB，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（{y}_{1}-\frac{3}{2}）（{y}_{2}-\frac{3}{2}）$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}+b-\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+b-\frac{3}{2}）$．對k=0與b=0分類討論利用根與系數的關系即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△＞0，∴64k²b²-4（3+4k²）（4b²-12）＞0，（*）．
∴x₁+x₂=$\frac{-8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵AB被y軸平分，∴x₁+x₂=0，∴kb=0．
∴k=0或b=0．
∵PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（{y}_{1}-\frac{3}{2}）（{y}_{2}-\frac{3}{2}）$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}+b-\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+b-\frac{3}{2}）$．
①若k=0，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，
∴$\frac{1}{3}（4^{2}-12）$+0+1+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，化為20b²-12b-27=0，解得b=$\frac{3±3\sqrt{46}}{10}$，不滿足△＞0，舍去．
②若b=0，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}-\frac{3}{2}）（k{x}_{2}-\frac{3}{2}）$=0，
∴（1+k²）x₁x₂-$（\frac{3k}{2}+1）$（x₁+x₂）+$\frac{13}{4}$=0，
∴（1+k²）$\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{13}{4}$=0，解得k=$±\frac{3}{2}$，滿足△＞0．此時直線l的方程為：y=$±\frac{3}{2}$x．
綜上可得：直線l的方程為y=$±\frac{3}{2}$x．
故答案為：y=$±\frac{3}{2}$x．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、數量積運算性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．