Question

（Ⅰ）敘述并證明面面垂直性質(zhì)定理；
（Ⅱ）P（x₀，y₀）到直線L：Ax+By+C=0的距離d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

，并證明此公式．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）面面垂直性質(zhì)定理符號(hào)表示為：若α⊥β，α∩β=l，m∈α且m⊥l，則l⊥β，令m∩l=A，過點(diǎn)A在平面β內(nèi)作直線n⊥l，由兩平面垂直的定義，可得m⊥n，由線面垂直的判定定理，l⊥β
（II）任取直線上一點(diǎn)R，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出

PR

在直線的單位法向量上的投影的絕對(duì)值即可；

解答： 解：（I）如果兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，
即：若α⊥β，α∩β=l，m∈α且m⊥l，則l⊥β，
證明如下：令m∩l=A，過點(diǎn)A在平面β內(nèi)作直線n⊥l，

∵m⊥l，n⊥l，α⊥β，
∴由兩平面垂直的定義，有m⊥n，
又m⊥l，n，l∈β，n∩l=A，
∴由線面垂直的判定定理，l⊥β
證明：（II）設(shè)R是直線上任意一點(diǎn)，則R（x，y），
∵直線Ax+By+C=0的方向向量為

m

=（-B，A），
則可取直線Ax+By+C=0的法向量為

n

=（A，B），
∵

PR

=（x-x₀，y-y₀），
∴d=

| PR • n |

| n |

=

|A(x-x0)+B(y-y0)+C|

A2+B2

=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式與點(diǎn)到平面的距離公式d=

| PR • n |

| n |

的證明方法、面面垂直性質(zhì)定理的證明，屬于難題．