Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m，（m∈R），且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時(shí)，f（x）的最小值為2．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{2}$，再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答f（x），然后利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由已知x的范圍求得函數(shù)的最小值，得到m值，再由函數(shù)圖象的平移得答案．

解答 解：（1）∵（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+m$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+m+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時(shí)，$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x$+\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，則f（x）_min=m=2，
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$，
將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{2}$，
所得函數(shù)解析式為y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+3，
再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
則g（x）=2sin[4（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+3=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．