Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．若PA=AD=3，CD=．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ） 求點F到平面PCE的距離；
（Ⅲ）求直線PC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)G為AC的中點，連接EG，F(xiàn)G
∵FG為△PCD的中位線，∴FG∥CD∥AE
又∵E為AB的中點，∴AE=FG
∴AEGF為平行四邊形，∴AF∥EG
∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）解：設(shè)F到平面PEC的距離為h
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA
又∵ABCD為矩形，∴EA⊥AD
∵PA∩AD=A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF為矩形
∵△PAD為等腰直角三角形，∴PF是棱錐P-AEGF的高
∴四棱錐P-AEGF的體積=•PF•FG•AF==
∵PE=EC=，PC=2，∴由余弦定理可得cos∠PEC=-，
∴sin∠PEC=
∴S_△PEC==；
∵四棱錐P-AEGF的體積=三棱錐F-PEG體積的2倍=三棱錐F-PEC體積
∴•h=，∴h=
∴F點到平面PEC的距離為；
（Ⅲ）解：在平面PCD內(nèi)作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC與平面PCE所成的角
在△FCH中，F(xiàn)H=，F(xiàn)C=，∴sin∠FCH=
∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為
分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質(zhì)，得到線線平行，從而得到四邊形是一個平行四邊形，即可得到線線平行，根據(jù)線面平行的判斷得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用四棱錐P-AEGF的體積=三棱錐F-PEG體積的2倍=三棱錐F-PEC體積，即可求點F到平面PCE的距離；
（Ⅲ）在平面PCD內(nèi)作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在這個可解的三角形中，求出角的正弦值．
點評：本題考查空間的點線面之間的位置關(guān)系和二面角的求法，考查點面距離的計算，屬于中檔題．