Question

已知A（0，1），曲線C：y=log_ax恒過點B，若P是曲線C上的動點，且

AB

•

AP

的最小值為2，則a=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：運用對數(shù)函數(shù)的圖象特點可得B（1，0），設(shè)P（x，log_ax），運用向量的數(shù)量積的坐標表示，可得f（x）=x-log_ax+1，再由導數(shù)，求得極值點即為最值點，對a討論，0＜a＜1，a＞1兩種情況，通過單調(diào)性即可判斷，并求得a=e．

解答： 解：曲線C：y=log_ax恒過點B，則令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又點A（0，1），設(shè)P（x，log_ax），
則

AB

•

AP

=(1，-1)•(x，logax-1)=x-logax+1．
由于f（x）=x-log_ax+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的極值點，即最小值點．
f′(x)=1-

1

xlna

=

xlna-1

xlna

，
若0＜a＜1，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增，在（0，+∞）無最小值，故a＞1，
設(shè)f'（x）=0，則x=log_ae．
當x∈（0，log_ae）時，f'（x）＜0，當x∈（log_ae，+∞）時，f'（x）＞0，
從而當且僅當x=log_ae時，f（x）取最小值，
所以log_ae=1，即有a=e．
故答案為：e．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，主要考查函數(shù)的導數(shù)的運用：求極值和最值，運用分類討論的思想和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．