如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；
（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：
解題思路：（1）構(gòu)造三角形的中位線，得出線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用線面垂直的性質(zhì)及等邊三角形的三線合一得出線線垂直，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（3）合理轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)求體積.
規(guī)律總結(jié)：證明空間中的線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵合理選擇性質(zhì)定理或判定定理，進(jìn)行三者之間的相互轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；求幾何體的體積，要合理選擇頂點(diǎn)與底面，以便容易求得高與面積.
試題解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．
∵D為AC中點(diǎn)，得DO為△AB1C中位線，∴A1B∥OD．

∴直線AB1∥平面BC1D；
（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中點(diǎn)
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
,;
（3）由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，
∴S△BCD==，
∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9.

考點(diǎn)：1.空間中的平行與垂直的判定；2.空間幾何體的體積.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在球的球面上，其中．兩點(diǎn)的球面距離記為，兩點(diǎn)的球面距離記為，則的值為       ．

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對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是         （寫出所有正確命題的編號(hào)）。
①相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面；
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn)；
③若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)；
⑤最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱。

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如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，，平面底面，是的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求三棱錐的體積．

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某一幾何體的三視圖如圖所示.按照給出的尺寸（單位:cm），(1)請(qǐng)寫出該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的;（2）求出這個(gè)幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，分別為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
(2）求多面體的體積．

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已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，高為4的等腰三角形．
(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的側(cè)面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點(diǎn)，△AEC面積的最小值是3．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）求四棱錐P－ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題



若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，
則此幾何體的體積是___________ .

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