Question

19．方程x²+（k-2）x+2k-1=0，
（1）一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實數(shù)k的取值范圍．
（2）兩根都在（0，1）之間，求k的范圍．
（3）在（0，1）之間有一個零點，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）（2）直接利用一元二次方程的根的分布云系數(shù)特征建立不等式求解．
（3）利用一元二次方程的根的分布特征可分情況討論，也可以構造方程．

解答 解：令f（x）=x²+（k-2）x+2k-1．
（1）一根在0和1之間，另一根在1和2之間，必有：$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2k-1＞0}\\{1+k-2+2k-1＜0}\\{4+2k-2+2k-1＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}k＞\frac{1}{2}\\ k＜\frac{2}{3}\\ k＞\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}＜k＜\frac{2}{3}$．
（2）兩根都在（0，1）之間，必有：$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ 0＜-\frac{k-2}{2}＜1\\ f（0）＞0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}k≤6-2\sqrt{7}或k≥6+2\sqrt{7}\\ 0＜k＜2\\ k＞\frac{1}{2}\\ k＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$
解得：$\frac{2}{3}＜k≤6-2\sqrt{7}$
（3）法一：
在（0，1）之間有一個零點：
①當f（0）=0時，$k=\frac{1}{2}$，代入檢驗${x^2}-\frac{3}{2}x=0$，x=0，$x=\frac{3}{2}$，不滿足題意．
②當f（1）=0，$k=\frac{2}{3}$，代入檢驗${x^2}-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}=0$，x=1，或$x=\frac{1}{3}$，滿足題意．
③f（0）f（1）＜0，即：（2k-1）（3k-2）＜0，解得：$\frac{1}{2}＜k＜\frac{2}{3}$
④$\left\{\begin{array}{l}△=0\\ 0＜-\frac{k-2}{2}＜1\\ f（0）＞0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，解得：$k=6-2\sqrt{7}$
綜上所述：$\frac{1}{2}＜k≤\frac{2}{3}$或$k=6-2\sqrt{7}$．
法二：
由方程x²+（k-2）x+2k-1=0，
∴$k=\frac{{-{x^2}+2x+1}}{x+2}$，x∈（0，1）
令t=x+2，t∈（2，3），那么：$k=\frac{{-{t^2}+6t-7}}{t}$=$-t-\frac{7}{t}+6$，
令g（t）=$-t-\frac{7}{t}+6$，$t∈（2，\sqrt{7}）$時函數(shù)單調遞增，$t∈（\sqrt{7}，3）$時函數(shù)單調遞減，
f（x）只有一個零點，即y=k與y=$-t-\frac{7}{t}+6$兩個函數(shù)圖象只有一個交點．
∴$\frac{1}{2}＜k≤\frac{2}{3}$或$k=6-2\sqrt{7}$．

點評 本題考點是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，考查用根與系數(shù)的關系將根的特征轉化為不等式組求解參數(shù)范圍，本題解法是解決元二次方程根的分布與系數(shù)的關系一個基本方法，應好好體會其轉化技巧．