Question

設函數．
（Ⅰ） 當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞1時，討論函數f（x）的單調性．
（Ⅲ）若對任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，利用導數的正負，確定函數的單調性，從而可求函數的極值；
（Ⅱ）求導函數f′（x）=，分類討論，利用導數的正負，確定函數的單調性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，從而可得對任意a∈（3，4），恒有，等價于m＞，求出右邊函數的值域，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）
 當a=1時，f（x）=x-lnx，則f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1時，函數f（x）取得極小值為1；
（Ⅱ）f′（x）=
當，即a=2時，，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
當，即a＞2時，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得
當，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得
綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數；
當a＞2時，f（x）在（0，）和（1，+∞）上單調遞減，在（，1）上單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和（，+∞）上單調遞減，在（1，）上單調遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減
∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值
∴
∴對任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
構造函數，則
∵a∈（3，4），∴
∴函數在（3，4）上單調增
∴g（a）∈（0，）
∴m≥．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，分離參數是關鍵．