Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)P₁（-2，0），P₂（2，0）所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足．
（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y 軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面積取得最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由k₁•k₂=-，可得，整理可求
（2）在，從而可得AB的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及|AC|=|BD|，可得CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，從而可求k，由于CD|=，點(diǎn)N到CD的距離d=|m|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及K的值，進(jìn)而可求直線方程
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），∵k₁•k₂=-，∴，即=1（y≠0）
動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是中心在原點(diǎn)，半長軸為2，焦點(diǎn)為（±，0）的橢圓
（除去長軸兩個(gè)端點(diǎn)．）  它的方程是=1（y≠0）．
（2）在，AB的中點(diǎn)為
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由-4=0△=32k²-8m²+16，x₁+x₂=-，
∵|AC|=|BD|，∴CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，
即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=
點(diǎn)N到CD的距離d=|m|，S_△NCD=|m|=
當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²時(shí)等號(hào)成立，即m²=2，m=±，此時(shí)△＞0，
所以直線的方程為l：y=．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用直線的斜率關(guān)系求解點(diǎn)的軌跡方程，要注意（1）中要去掉不符合條件的點(diǎn)，考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．