Question

設(shè)AB為過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)的弦，則弦AB的長(zhǎng)的最小值為

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   8
4. D.
   16

Answer 1

C
分析：根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達(dá)式，整理可得|AB|=8（1+），由于k=tana，進(jìn)而可知當(dāng)a=90°時(shí)AB|有最小值．
解答：焦點(diǎn)F坐標(biāo)（ 2，0），設(shè)直線L過F，則直線L方程為y=k（x-2）
聯(lián)立y²=8x得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4+
|AB|=x₁+x₂+2=8（1+）
因?yàn)閗=tana，所以1+=1+=
∴|AB|=
當(dāng)a=90°時(shí)，即AB垂直于X軸時(shí)，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點(diǎn)弦、直線與拋物線的關(guān)系等問題，解題的關(guān)鍵是正確聯(lián)立方程，寫出根和系數(shù)的關(guān)系．