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2.(1)已知非零向量a,b,且ab.求證:|a|+|b||a+b|2
(2)命題“若a1,a2∈R,a12+a22=1,則|a1+a2|≤2.”
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,則f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,
因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以△≤0,從而4(a1+a22-8≤0,所以|a1+a2|≤2
試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù),并證明你的結(jié)論.

分析 (1)利用分析法,結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行證明即可.
(2)利用類比推理的定義,進(jìn)行證明即可.

解答 解:(1)∵ab,∴ab=0
|a|+|b||a+b|2即證明|a|+|b|≤2|a+b|,即(|a|+|b|)2≤2|a+b|2,
即|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(|a|2+2|ab|+|b|2),
即|a|2-2|a||b|+|b|2≥0,
即(|a|-|b|)2≥0成立,
∵(|a|-|b|)2≥0恒成立,
∴故原不等式成立; …(7分)
(2)若a1,a2,…,an∈R,a21+a22++a2n=1,
|a1+a2++an|n.…(10分)
證明:構(gòu)造函數(shù)fx=xa12+xa22++xan2
fx=nx22a1+a2++anx+a21+a22++a2n=nx22a1+a2++anx+1,
因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,
所以△≤0,從而4a1+a2++an24n0,
所以|a1+a2++an|n.…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查推理和證明的應(yīng)用,利用分析法以及類比推理是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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