Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，且滿足S_n=2a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和；
（3）設(shè)有m項(xiàng)的數(shù)列{b_n}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，并且滿足：．
問數(shù)列{b_n}最多有幾項(xiàng)？并求這些項(xiàng)的和．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1=2a_n．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1≠0，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知S_n=2^n-1，
∴S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•
=（2¹-1）•+（2²-1）•+（2³-1）•+…+（2ⁿ⁺¹-1）•
=2（+2+2²+…+2ⁿ）-（+++…+）
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ
=2•3ⁿ-2ⁿ
（3）由已知得2••…=m-1．
又{b_n}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，
∴b_n=b_n-1+1．
∴上式化為=m-1．
又b_m=b₁+（m-1），消b_m得mb₁-3b₁-2m=0．
m==3+，由于m∈N^*，
∴b₁＞2，
∴b₁=3時(shí)，m的最大值為9．
此時(shí)數(shù)列的所有項(xiàng)的和為3+4+5+…+11=63
分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，即可求得a_n+1=2a_n．，繼而可證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的概念即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知S_n=2^n-1，將其代入S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•，分組求和．利用二項(xiàng)式定理即可求得其結(jié)果；
（3）利用對數(shù)的性質(zhì)可得到2••…=m-1，利用{b_n}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，且滿足上式，可化為=m-1，利用b_m=b₁+（m-1），消b_m即可求得答案．
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查數(shù)列求和，考查數(shù)列遞推式，突出考查創(chuàng)新思維與抽象邏輯思維的能力，屬于難題．