Question

（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若在區(qū)間上存在x，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（Ⅲ）求函數(shù)的值域.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

：（Ⅰ）因?yàn)?img width=84 height=37 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/101/376901.gif">，所以     -------------2分

（Ⅱ）因?yàn)?img width=53 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/103/376903.gif">，所以,  -----------3分

      則.     求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，顯然有,

         所以在區(qū)間上遞增,  --------5分  即可得在區(qū)間上的值域?yàn)?img width=44 height=37 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/113/376913.gif">,  在區(qū)間上存在x，使得成立，所以. -------7分

（Ⅲ）由于的表達(dá)式關(guān)于x與對稱，且x>0，不妨設(shè)x??1.

     當(dāng)x=1時(shí)，=1，則; ----8分     當(dāng)x>1時(shí)，設(shè)x= n+，n??N^*，0??<1.

     則[x]= n，，所以.   ---------9分

     ，在[1，+??)上是增函數(shù)，又，

     ,

     當(dāng)時(shí)，     

當(dāng)時(shí)，   ……… 11分

     故時(shí)，的值域?yàn)?i>I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

     設(shè),

     則.     ,

     \當(dāng)n??2時(shí)，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

     又b_n單調(diào)遞減，\ b₂> b₃>…> b_n>…  \[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…------12分

     ,

     \ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂ =.

     綜上所述，的值域?yàn)?img width=92 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/147/376947.gif">.-----13分