Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-alnx-x²在區(qū)間（1，3）內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=

1

3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）內(nèi)不存在極值點(diǎn)?函數(shù)f（x）在（1，3）內(nèi)單調(diào)?函數(shù)f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）內(nèi)恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、分離參數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）內(nèi)不存在極值點(diǎn)
?函數(shù)f（x）=

1

3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）內(nèi)單調(diào)
?函數(shù)f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）內(nèi)恒成立．
由f′（x）=x²-

a

x

-2x≥0在（1，3）內(nèi)恒成立
?a≤（x³-2x²）_min，x∈（1，3）．即a≤-

32

27

，
由f′（x）=x²-

a

x

-2x≤0在（1，3）內(nèi)恒成立
?a≥（x³-2x²）_max，x∈（1，3）．即a≥9，
故答案為：a≤-

32

27

或a≥9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分離參數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．