Question

定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g（x）為f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．現(xiàn)有如下命題：
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能無(wú)數(shù)個(gè)；
②g（x）=2x為函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)；
③若函數(shù)g（x）=x-a為函數(shù)f（x）=ax²的承托函數(shù)，則a的取值范圍是a≥

1

2

；
④定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
其中正確命題的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，若取f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），都滿足，且有無(wú)數(shù)個(gè)，正確；對(duì)于②，當(dāng)x=

3

2

時(shí)，②錯(cuò)；對(duì)于③，由函數(shù)g（x）=x-a為函數(shù)f（x）=ax²的承托函數(shù)，知ax²≥x-a對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，由此能求出a的范圍．對(duì)于④，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯(cuò)．

解答：解：對(duì)于①，若f（x）=sinx，
則g（x）=B（B＜-1），就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，
再如y=tanx，y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)，故命題①正確；
對(duì)于②，∵當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g（

3

2

）=3，f（

3

2

）=2

2

=

8

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵函數(shù)g（x）=x-a為函數(shù)f（x）=ax²的承托函數(shù)，
∴ax²≥x-a對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
∴

a＞0 △=1-4a2≤0

，
解得a≥

1

2

．故正確；
對(duì)于④，如f（x）=2x+3存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故錯(cuò)誤；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題是以抽象函數(shù)為依托，考查學(xué)生的閱讀的能力，沒(méi)有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．