Question

已知函數f(x)=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．
（1）求φ的值及y=f（x）最小正周期；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數PF₂在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）=

1

2

cos(2x-∅)，又函數的圖象經過（

π

6

，

1

2

），可得 cos（

π

3

-∅）=1，據 
0＜∅＜π，得∅=

π

3

，故最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)，根據圖象的變換可得 g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，因為x∈[0，

π

4

]，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，故-

1

2

≤cos(4x-

π

3

)≤1，從而得到函數在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，
∴f（x）=

1

2

sin2xsin∅+

1+cos2x

2

•cos∅-

1

2

cos∅=

1

2

sin2xsin∅+

1

2

cos2xcos∅
=

1

2

cos(2x-∅)，又函數的圖象經過（

π

6

，

1

2

），∴

1

2

=

1

2

 cos（

π

3

-∅），∴cos（

π

3

-∅）=1．
∵0＜∅＜π，∴∅=

π

3

，故最小正周期等于

2π

2

=π．
 （2）由（Ⅰ）知f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)，將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，
縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，可知g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，
因為x∈[0，

π

4

]，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，故-

1

2

≤cos(4x-

π

3

)≤1．
所以y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值分別為

1

2

和-

1

4

．

點評：本題考查三角恒等變換，余弦函數的周期性，余弦函數的定義域和值域，余弦函數的圖象變換，得到可知g(x)=f(2x)=

1

2

cos(4x-

π

3

)，是解題的難點．