Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+ ﹣x2﹣ax（a∈R）
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥ 時(shí)，設(shè)g（x）=ln[x2（ax+1）]+ ﹣3ax﹣f（x）（x＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）恰為φ（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零點(diǎn)，求y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意f′（x）= +x2﹣2x﹣a≥0在[4，+∞）上恒成立，

整理得ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2≥0在[4，+∞）上恒成立

設(shè)h（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2，顯然a＞0其對(duì)稱(chēng)軸為x=1﹣ ＜1

∴h（x）在[4，+∞）單調(diào)遞增，∴只要h（4）=16a+4（1﹣2a）﹣a2﹣2≥0，

∴0＜a≤4+3

（2）解：g（x）=2lnx﹣2ax+x2，g′（x）= ．

由題意 ，∴ ≥ ，解得0＜ ≤ ，

φ′（x）= ﹣2cx﹣b，φ（x1）=lnx1﹣cx12﹣bx1，φ（x2）=lnx2﹣cx22﹣bx2，

兩式相減得ln ﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）= ﹣lnt（0＜t≤ ），

∴y′= ＜0．

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）在（0， ]遞減，ymin=ln2﹣ ．

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值為ln2﹣

【解析】（1）由題意f′（x）= +x2﹣2x﹣a≥0在[4，+∞）上恒成立，整理得ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2≥0在[4，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2，只要h（4）=16a+4（1﹣2a）﹣a2﹣2≥0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先確定0＜ ≤ ，再利用y=（x1﹣x2）φ′（ ）= ﹣lnt（0＜t≤ ），即可求y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．