Question

15．若變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）的最大值2，則a+3b的最小值為16．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結合z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）的最大值為2，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得A（2，6），
化目標函數(shù)z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$，
為y=-$\frac{a}$x+bz，
由圖可知，當直線y=-$\frac{a}$x+bz過A時，直線在y軸上的截距最大，
z有最大值為$\frac{2}{a}$+$\frac{6}$=2，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=1，
a+3b=（a+3b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$）=10+$\frac{3a}$+$\frac{3b}{a}$≥10+6=16，
故答案為：16．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．