Question

設(shè)A={a+

2

b||a²-2b²|=1，a，b∈Z}，現(xiàn)有以下三個條件：
甲：x∈A且y∈A
乙：xy∈A
丙：

1

x

∈A
求證：甲分別是乙和丙的充分條件．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)元素之間的關(guān)系，利用充分條件的定義進(jìn)行推理即可．

解答： 解：設(shè)x=a+

2

b，y=c+

2

d，則|a²-2b²|=1，a，b∈Z，|c²-2d²|=1，c，d∈Z
則xy=（a+

2

b）（c+

2

d）=（ac+2bd）+

2

（bc+ad），
∵（ac+2bd）²-2（bc+ad）²=（a²-2b²）（c²-2d²），a，b，c，d∈Z，
∴|（ac+2bd）²-2（bc+ad）²|=|（a²-2b²）（c²-2d²）|=1，a，b，c，d∈Z，
即xy∈A，

1

x

=

1

a+ 2 b

=

a- 2 b

a2-2b2

=

a

a2-2b2

-

2

•(

b

a2-2b2

)，
∵|a²-2b²|=1，
∴若a²-2b²=1，則

1

x

=a-

2

b∈A，
若a²-2b²=-1，則

1

x

=-a+

2

b∈A，
∴甲分別是乙和丙的充分條件．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)集合元素關(guān)系進(jìn)行推理是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．