Question

2．我國延遲退休年齡將借鑒國外經(jīng)驗，擬對不同群體采取差別措施，并以“小步慢走”的方式實施．現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“延遲退休年齡”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“延遲退休年齡”反對的人數(shù)如下表．

月收入（元）	[1500，2500）	[2500，3500）	[3500，4500）	[4500，5500）	[5500，6500）	[6500，7500）
頻數(shù)	5	10	14	11	6	4
反對人數(shù)	4	8	11	6	2	1

（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)估算月收入高于5500的調(diào)查對象中，持反對態(tài)度的概率；
（Ⅱ）若對月收入在[1500，2500），[2500，3500）的被調(diào)查對象中各隨機選取兩人進行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中贊成“延遲退休年齡”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）月收入高于5500的人數(shù)有10人，其中持反對態(tài)度的人數(shù)有3人，由此能估算月收入高于4000的調(diào)查對象中，持反對態(tài)度的概率．
（2）由已知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于對某市工薪階層關(guān)于“延遲退休年齡”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，
他們月收入的頻數(shù)分布可知月收入高于5500的人數(shù)有6+4=10人，
其中持反對態(tài)度的人數(shù)有2+1=3人，
∴估算月收入高于4000的調(diào)查對象中，持反對態(tài)度的概率p=$\frac{3}{10}=0.3$．
（2）根據(jù)題意，由于對月收入在[1500，2500），[2500，3500）的被調(diào)查對象中各隨機選取兩人進行跟蹤調(diào)查，
可知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{75}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{104}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{45}$ 
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{225}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{28}{75}$	$\frac{104}{225}$	$\frac{7}{45}$	$\frac{2}{225}$

Eξ=$0×\frac{28}{75}+1×\frac{104}{225}$+$2×\frac{7}{45}$+$3×\frac{2}{225}$=0.8．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．