某高校在招收體育特長(zhǎng)生時(shí)，須對(duì)報(bào)名學(xué)生進(jìn)行三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄�。僭O(shè)每項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，學(xué)生甲和乙三個(gè)項(xiàng)目測(cè)試合格的概率均相等•且各項(xiàng)測(cè)試合格的概率分別為
1
2
，
1
2
，
1
3
．
（1）求學(xué)生甲和乙至少有一人被錄取的概率；
（2）求學(xué)生甲測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（1）記學(xué)生甲被錄取的事件為A，學(xué)生甲通過這三個(gè)項(xiàng)目的事件分別為B，C，D，由題設(shè)知P（B）=
1
2
，P（C）=
1
2
，P（D）=
1
3
，由于事件B，C，D相互獨(dú)立，由此能求出甲被錄取的概率，由學(xué)生甲和乙三個(gè)項(xiàng)目測(cè)試合格的概率均相等，知乙被錄取的概率和甲被錄取的概率相等，由此能求出學(xué)生甲和乙到少有一人被錄取的概率．
（2）由題設(shè)知，學(xué)生甲測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X的取值為0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解答： 解：（1）記學(xué)生甲被錄取的事件為A，學(xué)生甲通過這三個(gè)項(xiàng)目的事件分別為B，C，D，
由題設(shè)知P（B）=
1
2
，P（C）=
1
2
，P（D）=
1
3
，
由于事件B，C，D相互獨(dú)立，
∴甲被錄取的概率為：
P（A）=P（BCD）=P（B）P（C）P（D）=
1
2
×
1
2
×
1
3
=
1
12
，
∵學(xué)生甲和乙三個(gè)項(xiàng)目測(cè)試合格的概率均相等，
∴乙被錄取的概率為P1=
1
12
，
∴學(xué)生甲和乙到少有一人被錄取的概率P=1-C
 
2
2
（
11
12
）2=
23
144
．
（2）由題設(shè)知，學(xué)生甲測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X的取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=P（
.
B
.
C
.
D
）=
1
2
×
1
2
×
2
3
=
1
6
，
P（X=1）=P（B
.
C
.
D
）+P（
.
B
C
.
D
）+P（
.
B
.
C
D）
=
1
2
×
1
2
×
2
3
+
1
2
×
1
2
×
2
3
+
1
2
×
1
2
×
1
3
=
5
12
，
P（X=2）=P（BC
.
D
）+P（B
.
C
D）+P（
.
B
CD）
=
1
2
×
1
2
×
2
3
+
1
2
×
1
2
×
1
3
+
1
2
×
1
2
×
1
3
=
1
3
，
P（X=3）=P（BCD）=
1
2
×
1
2
×
1
3
=
1
12
，
∴X的分布列為：
 X 0  1  2  3
 P  
1
6
  
5
12
  
1
3
  
1
12
EX=0×
1
6
+1×
5
12
+2×
1
3
+3×
1
12
=
4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式組
y＞1
x-y+2≥0
x+y-m＜0
所表示的平面區(qū)域內(nèi)有且只有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=(
1+i
1-i
)2014=（　�。�
A、-1B、1C、-iD、i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N*都有2Sn=（kn+b）（a1+an）+p成立，（其中k、b、p是常數(shù)）．
（1）當(dāng)k=0，b=3，p=-4時(shí)，求Sn；
（2）當(dāng)k=1，b=0，p=0時(shí)，
①若a3=3，a9=15，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)數(shù)列{an}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“Ω數(shù)列”．如果a2-a1=2，試問：是否存在數(shù)列{an}為“Ω數(shù)列”，使得對(duì)任意n∈N*，都有Sn≠0，且
1
12
＜
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
11
18
．若存在，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的所有取值構(gòu)成的集合；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BD的中點(diǎn)，若AD與BC所成的角是60°，那么角FEG為多少度？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：
使用年限x 2 3 4 5 6
維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．
（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程
y
=
b
x+
a
的回歸系數(shù)
b
=1.23；求出回歸方程．
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若(
x
-
3
x
)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為1024，則展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2-x，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象被點(diǎn)P（2，f（2））分成的兩部分為c1，c2，（點(diǎn)P除外），該函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線為l，求證：當(dāng)a=-
1
8
時(shí)，c1，c2分別完全位于直線l的兩側(cè)．
（3）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（1）=0，則不等式f[x（x-
1
2
）]＜0的解集為
 
．

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