Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x．
（I）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程；
（II）設(shè)常數(shù)a＞0，如果過點P（a，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x³-x，
∴f'（x）=3x²-1．
切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³．
（Ⅱ） 已知?關(guān)于t的方程m=（3t²-1）a-2t³
即m=-2t³+3at²-a（a＞0）有三個不等實根．
令g（t）=-2t³+3at²-a，則g'（t）=-6t（t-a）．
可知g（t）在（-∞，0）遞減，
在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
g（t）的極小值為：g（0）=-a，極大值為g（a）=a³-a．
結(jié)合圖象知m∈（-a，a³-a）．
分析：（I）求出f′（x），根據(jù)切點為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（II）因切線過點（a，m），則存在t使m=（3t²-1）a-2t³，于是過點（a，m）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程m=-2t³+3at²-a（a＞0）有三個相異的實數(shù)根．記g（t）=-2t³+3at²-a，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，結(jié)合圖象，求出m的取值范圍．
點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，考查了數(shù)形結(jié)合的思想．