Question

已知B、C是兩個定點，|BC|=8，且△ABC的周長等于18．設頂點A的軌跡為曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）設O為BC的中點，直線AB與曲線M的另一個交點為D，求△OAD面積的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知利用橢圓的定義可知點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，由此能求出點A的軌跡方程．
（2）當直線AD的斜率不存在時，S_△AOD=

36

5

；當直線AD的斜率存在時，設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線AD的方程為y=k（x+4），由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x+4)

，得：（25k²+9）x²+200k²x+400k²-225=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式能求出△OAD面積的最大值．

解答： 解：（1）由已知得|AB|+|AC|=10，
由橢圓的定義可知點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
所以b²=a²-c²=9．
如圖建立直角坐標系，以BC所在直線為x軸，BC中點為坐標原點．
當點A在直線BC上，即y=0時，A、B、C不能構成三角形．
因此，點A的軌跡方程是

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．
（2）①當直線AD的斜率不存在時，由已知得|AD|=

18

5

，點O到直線AD的距離d=4，所以S_△AOD=

36

5

；
②當直線AD的斜率存在時，設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線AD的方程為y=k（x+4），
則由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x+4)

，得：（25k²+9）x²+200k²x+400k²-225=0
所以x₁+x₂=-

200k2

25k2+9

，x₁x₂=

400k2-225

25k2+9

，
于是|AD|=|x₁-x₂|

1+k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+k2

=

( 200k2 25k2+9 )2-4• 400k2-225 25k2+9

×

1+k2

=

8100(k2+1) (25k2+9)2

×

1+k2

=

90(k2+1)

25k2+9

，
又點O到直線AD的距離d=

4|k|

1+k2

，
所以S_△AOD=

1

2

|AD|d=180•

|k| 1+k2

25k2+9

，
令

1

k

=t，則S_△AOD=180•

|k| 1+k2

25k2+9

=180•

t2+1

9t2+25

=20•

t2+1

t2+1+ 16 9

=

20

t2+1 + 16 9 t2+1

≤

20

2 16 9

=

15

2

當

t2+1

=

16 9

t2+1

，即t2=

7

9

時取等號．此時，k=±

3

7

．
由

15

2

＞

36

5

知，S_△AOD的最大值為

15

2

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．