Question

16．已知一次函數f（x）在R上單調遞增，當x∈[0，3]時，值域為[1，4]．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，8]時，求函數$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$的值域．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）是一次函數，設f（x）=kx+b，在R上單調遞增，當x∈[0，3]時，值域為[1，4]．可求k，b．
（2）函數$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$，求出g（x），利用換元法轉化為二次函數問題求值域．

解答 解：（1）由題意函數f（x）是一次函數，
設f（x）=kx+b，在R上單調遞增，當x∈[0，3]時，值域為[1，4]．
故得$\left\{\begin{array}{l}{k×0+b=1}\\{k×3+b=4}\end{array}\right.$，解得：b=1．k=1，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x+1、
（2）函數$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$=2x-$\sqrt{x+1}$，
令：t=$\sqrt{x+1}$，則x=t²-1．
∵x∈[-1，8]，
∴0≤t≤3．
∴函數g（x）轉化為h（t）=$2{t}^{2}-t-2=2（t-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{17}{8}$
當t=$\frac{1}{4}$時，函數h（t）取得最小值為$-\frac{17}{8}$，
當t=3時，函數h（t）取得最大值為13．
故得函數h（t）的值域為[$-\frac{17}{8}，13$]，即函數g（x）的值域為[$-\frac{17}{8}，13$]，

點評 本題考查了函數解析式的求法和利用換元法求救值域的問題．