Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a²+b²+c²=3，則abc的最大值為

5

27

．

Answer 1

分析：由條件可得 1=（a+b+c）²，化簡(jiǎn)可得ab+bc+ac=-1．求得ab=c²-c-1，又a+b=1-c，可得a和b是關(guān)于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的兩根．由△≥0，解得-1≤c≤

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3

．a(chǎn)bc=c³-c²-c．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答：解：由a+b+c=1，a²+b²+c²=3 可得
1=（a+b+c）²=a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c²-c-1．
又a+b=1-c，∴由韋達(dá)定理可知，a和b是關(guān)于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的兩根．
∴△=（c-1）²-4（c²-c-1）≥0，整理可得3c²-2c-5≤0，解得-1≤c≤

5

3

．
再由ab=c²-c-1，可得abc=c³-c²-c．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-x²-x，-1≤x≤

5

3

，
求導(dǎo)可得 f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-

1

3

，或 x=1．
在[-1，-

1

3

）、[1，

5

3

）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
在（-

1

3

，1）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）max=max{f（-

1

3

），f（

5

3

）}=

5

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，
∴（abc）max=

5

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，
故答案為

5

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．