Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）為單調(diào)函數(shù)，f（1）=2，向量

a

=(

2

cos

θ

2

，1)，

b

=(

2

λsin

θ

2

，cos2θ)，是否存在實數(shù)λ，對任意θ∈[0，2π)，f(

a

•

b

)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）對任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），令x=y=0可得f（0）．
（2）已知f（x）為單調(diào)函數(shù)，由（1）知f（0）=0，再由已知等式求出f（1）=2，判斷出f（x）為增函數(shù)，求出

a

•

b

代入不等式，利用單調(diào)性去掉f，得到關(guān)于sinθ的一元二次方程，令t=sinθ換元，得到關(guān)于t的二次方程，由θ范圍，求出sinθ范圍，也就是t的范圍，問題就轉(zhuǎn)化為在定區(qū)間上二次函數(shù)的最值，因為對稱軸不確定，要求最小值，分三種情況討論，得到三個范圍，取并就是λ的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），
∵f（x）≠0，∴f（0）=1．
（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）是增函數(shù)，
∵

a

•

b

=λsinθ+cos²θ，f（

a

•

b

）-f（3）≤0
∴f（λsinθ+cos²θ）≤f（3）
又∵f（x）是增函數(shù)，
∴對任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos²θ≤3恒成立，
即sin²θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）
令t=sinθ，得t²-λt+2≥0
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，
令h（t）=t²-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-

λ2

4

（-1≤t≤1），
①當(dāng)

λ

2

＜-1時，即λ＜-2時，只要h（-1）≥0，則（*）恒成立，
∵h(yuǎn)（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；
②當(dāng)-1≤

λ

2

≤1時，即-2≤λ≤2時，只要h（

λ

2

）≥0，則（*）恒成立，
∵h(yuǎn)（

λ

2

）=2-

λ2

4

≥0，∴-2

2

≤λ≤2

2

，
∴-2≤λ≤2；
③當(dāng)

λ

2

＞1時，即λ＞2時，只要h（1）≥0，則（*）恒成立，
∵h(yuǎn)（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
綜上：存在-3≤λ≤3，滿足題目要求．

點評：本題涉及到抽象函數(shù)求函數(shù)值，向量的數(shù)量積運算，二次函數(shù)定區(qū)間上求最小值，在二次函數(shù)對稱軸不確定的情況下，要按對稱軸在區(qū)間左邊，中間，右邊三種情況分類，分別求得最小值．用到分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想．