Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

+1-2a（a≥

1

2

）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線；
（Ⅱ）證明：f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到f′（1），再求出f（1），然后由點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，求導(dǎo)后由已知得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0，再由g（x）的單調(diào)性得答案；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．驗(yàn)證當(dāng)x=1時(shí)該不等式成立，然后利用前n項(xiàng)和為S_n=ln（n+1）的數(shù)列的通項(xiàng)公式為ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，在

1

2

(x+

1

x

)≥lnx中取x=

k+1

k

，放縮后得到ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，再利用累加法即可證得不等式．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2x+

1

x

-3，
f′(x)=2-

1

x2

，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為：y=x-1；
（Ⅱ）證明：令g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，則有：g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

(x≥1)，
由于a≥

1

2

，得

1-a

a

≤1，
∴g′（x）≥0，
∴y=g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=0．
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）證明：當(dāng)a=

1

2

時(shí)，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

(x+

1

x

)＞lnx．
由S_n=ln（n+1），得通項(xiàng)公式為ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，
令x=

k+1

k

⇒ln

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

[(1+

1

k

)-(1-

1

k+1

)]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
即：ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，由累加法得：ln(n+1)＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

⇒ln(n+1)+

1

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

2(n+1)

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答（Ⅱ）的關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)g（x），（Ⅲ）的證明是該題的難點(diǎn)，考查了學(xué)生靈活分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是壓軸題．