Question

若曲線C上的點(diǎn)到直線x=-2的距離比它到點(diǎn)F（1，0）的距離大1，
（1）求曲線C的方程．
（2）過點(diǎn)F（1，0）作傾斜角為135的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)
（3）過點(diǎn)F（1，0）作斜率為k 的直線交曲線C于M、N 兩點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得曲線C上的點(diǎn)到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，由此能求出其方程．
（2）由，得y²+4y-4=0，y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能求出．
（3），，設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，由此能求出為定值．
解答：解：（1）由已知得曲線C上的點(diǎn)到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，其方程是y²=4x．
（2）由，得y²+4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴．
（3），∴，
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，
∴
==，
∴為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)解題技巧，提高解題能力．