Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓C上一點，且滿足∠F1MF2=

π

3

．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是橢圓C上的一個動點，試求t=

|PF1-PF2|

|OP|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在△MF₁F₂中，根據(jù)余弦定理得4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²結(jié)合基本不等式即可求得，當(dāng)且僅當(dāng)MF₁=MF₂=a時，a²≤4c²從而求橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）令OP=m，結(jié)合橢圓的定義由余弦定理可得（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²），得到t=

2 m2+c2-a2

m

=2

1- a2-c2 m2

最后利用放縮法即可求得t的取值范圍是．

解答：解：（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²MF1•MF2≤(

MF1+MF2

2

)2=a2，當(dāng)且僅當(dāng)MF₁=MF₂=a時，取等號
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴e2≥

1

4

即e∈[

1

2

，1)（5分）
（2）令OP=m，則m∈[b，a]（10分）
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF₁²與PF₂²兩式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
則（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴t=

2 m2+c2-a2

m

=2

1- a2-c2 m2

∵m∈[b，a]，∴

a2-c2

a2

≤

a2-c2

m2

≤

a2-c2

b2

即0≤1-

a2-c2

m2

≤

c2

a2

，
∴t的取值范圍是0≤t≤

2c

a

．     （16分）

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．