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19.已知等差數(shù)列{an}中,a1=-2,公差d=3;數(shù)列{bn}中,Sn為其前n項(xiàng)和,滿足2nSn+1=2n(n∈N+).
(1)記cn=1anan+1,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

分析 (1)根據(jù)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差確定出通項(xiàng)公式,進(jìn)而確定出cn的通項(xiàng)公式,求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn即可;
(2)根據(jù)2nSn+1=2n,確定出Sn與Sn-1,由bn=Sn-Sn-1,利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.

解答 (1)解:∵a1=-2,d=3,
∴an=a1+(n-1)×d=-2+3(n-1)=3n-5,
∴cn=1anan+1=13n53n2=1313n5-13n2),
則Tn=13(-12-1+1-14+…+13n5-13n2)=-n23n2
(2)證明:∵2nSn+1=2n,∴Sn=1-12n,Sn-1=1-12n1(n≥2的正整數(shù)),
∴bn=Sn-Sn-1=12n1-12n=12n1-12×12n1=12×(12n-1(n≥2的正整數(shù)),
當(dāng)n=1,b1=S1=1-12=12,滿足上述通項(xiàng)公式,
則數(shù)列{bn}是以b1=12為首項(xiàng),q=12為公比的等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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