Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-2，公差d=3；數(shù)列{b_n}中，S_n為其前n項和，滿足${2^n}{S_n}+1={2^n}$（n∈N⁺）．
（1）記${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的首項與公差確定出通項公式，進而確定出c_n的通項公式，求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n即可；
（2）根據(jù)2ⁿS_n+1=2ⁿ，確定出S_n與S_n-1，由b_n=S_n-S_n-1，利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷即可．

解答 （1）解：∵a₁=-2，d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）×d=-2+3（n-1）=3n-5，
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-5）（3n-2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$），
則T_n=$\frac{1}{3}$（-$\frac{1}{2}$-1+1-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$）=-$\frac{n}{2（3n-2）}$；
（2）證明：∵2ⁿS_n+1=2ⁿ，∴S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，S_n-1=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2的正整數(shù)），
∴b_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥2的正整數(shù)），
當n=1，b₁=S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，滿足上述通項公式，
則數(shù)列{b_n}是以b₁=$\frac{1}{2}$為首項，q=$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．

點評 此題考查了數(shù)列的求和，等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．