Question

（2010•青浦區(qū)二模）已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M，設(shè)|MF₂|=d．
（1）證明：d，b，a 成等比數(shù)列；
（2）若M的坐標(biāo)為（

2

，1），求橢圓C的方程；
（3）在（2）的橢圓中，過F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若

OA

•

OB

=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y₀），其中|y₀|=d，知

c2

a2

+

d2

b2

=1，d=b•

1- c2 a2

=

b2

a

，由此能證明d，b，a成等比數(shù)列．
（2）由條件知c=

2

，d=1，知

b2=a-1 a2=b2+2

，由此能求出橢圓方程．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），所以

OA

•

OB

≠0． 設(shè)直線l的方程為y=k（x+

2

），代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-4=0再由韋達(dá)定理能夠推導(dǎo)出直線l的方程．

解答：解：（1）證明：由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y₀），其中|y₀|=d，
∴

c2

a2

+

d2

b2

=1，d=b•

1- c2 a2

=

b2

a

，…（3分）
∴

d

b

=

b

a

，即d，b，a成等比數(shù)列．   …（4分）
（2）由條件知c=

2

，d=1，∴

b2=a-1 a2=b2+2

，…（6分）
∴

a=2 b= 2

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1，…（8分）
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），所以

OA

•

OB

≠0．  …（9分）
設(shè)直線l的方程為y=k（x+

2

），
代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-4=0．…（11分）
所以

x1+x2=- 4 2 k2 1+2k2 x1x2= 4k2-4 1+2k2

…（13分）
由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
x1x2+k2(x1+

2

)(x2+

2

)=(1+k2)x1x2+

2

k2(x1+x2)+2k2=0，
代入得

(1+k2)(4k2-4)

1+2k2

-

4 2 k2- 2 k2

1+2k2

+2k2=0，解得k=±

2

．
所以直線l的方程為y=±

2

(x+

2

)．     …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．