分析 以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),
(1)求出→AE=(12,√32,0),→BF=(-1,0,1).利用數(shù)量積求解異面直線AE、BF所成的角的余弦值.
(2)推出平面AA1B的一個法向量,平面BDF的一個法向量.利用數(shù)量積求解平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.
(3)點(diǎn)A到平面BDF的距離,即AB在平面BDF的法向量→n上的投影的絕對值.代入公式求解即可.
解答 解:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,
AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. …(1分)
由已知AB=2,AA1=1,
可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).…(2分)
又AD⊥平面AA1B1B,從而BD與平面AA1B1B所成的角即為∠DBA=30°,
又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=2√33,
從而易得E(12,√32,0),D(0,2√33,0). …(3分)
(1)∵→AE=(12,√32,0),→BF=(-1,0,1).
cos(→AE,→BF)=→AE•→BF|→AE||→BF|=−12√2=-√24.
即異面直線AE、BF所成的角的余弦為√24.…(4分)
(2)易知平面AA1B的一個法向量→m=(0,1,0),…(5分)
設(shè)→n=(x,y,z)是平面BDF的一個法向量.
→BD=(-2,2√33,0).
由{→n⊥→BF→n⊥→BD⇒{→n•→BF=0→n•→BD=0⇒{−x+z=02x−2√33y=0⇒{x=z√3x=y …(6分)
取→n=(1,√3,1),∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=√31×√5=√155.
即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值為√155.…(8分)
(3)點(diǎn)A到平面BDF的距離,
即AB在平面BDF的法向量→n上的投影的絕對值. …(9分)
所以距離d=||→AB|•cos<→AB,→n>|=|→AB|•→AB•→n|→AB||→n|=2√5=2√55.
所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為2√55.…(12分).
點(diǎn)評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用,平面與平面市場價的求法,異面直線市場價以及點(diǎn)到平面的距離的求法,考查空間想象能力以及計算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
收到的手機(jī)紅包金額t(單位:元) | t≤100 | 100<t≤1000 | t>1000 |
人數(shù)(單位:人) | 150 | 100 | 50 |
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A. | 116 | B. | 14 | C. | 34 | D. | 18 |
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A. | \frac{1}{2} | B. | \frac{\sqrt{2}}{2} | C. | \sqrt{2} | D. | \sqrt{3} |
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A. | 10π | B. | 24π | C. | 36π | D. | 48π |
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A. | 2 | B. | 2\sqrt{3} | C. | \frac{{7\sqrt{6}}}{3} | D. | 2\sqrt{6} |
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