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4.如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°,AE垂直BD于E,F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn).
(1)求異面直線AE與BF所成的角的余弦;
(2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦;
(3)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

分析 以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),
(1)求出AE=(12,32,0),BF=(-1,0,1).利用數(shù)量積求解異面直線AE、BF所成的角的余弦值.
(2)推出平面AA1B的一個法向量,平面BDF的一個法向量.利用數(shù)量積求解平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.
(3)點(diǎn)A到平面BDF的距離,即AB在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值.代入公式求解即可.

解答 解:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,
AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.       …(1分)

由已知AB=2,AA1=1,
可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).…(2分)
又AD⊥平面AA1B1B,從而BD與平面AA1B1B所成的角即為∠DBA=30°,
又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=233,
從而易得E(12,32,0),D(0,233,0).    …(3分)
(1)∵AE=(12,32,0),BF=(-1,0,1).
cosAEBF=AEBF|AE||BF|=122=-24
即異面直線AE、BF所成的角的余弦為24.…(4分)
(2)易知平面AA1B的一個法向量m=(0,1,0),…(5分)
設(shè)n=(x,y,z)是平面BDF的一個法向量.
BD=(-2,233,0).
{nBFnBD{nBF=0nBD=0{x+z=02x233y=0{x=z3x=y  …(6分)
n=(1,3,1),∴cos<m,n>=mn|m||n|=31×5=155
即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值為155.…(8分)
(3)點(diǎn)A到平面BDF的距離,
即AB在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值.    …(9分)
所以距離d=||AB|cosABn|=|AB|ABn|AB||n|=25=255
所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為255.…(12分).

點(diǎn)評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用,平面與平面市場價的求法,異面直線市場價以及點(diǎn)到平面的距離的求法,考查空間想象能力以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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收到的手機(jī)紅包金額t(單位:元)t≤100100<t≤1000t>1000
人數(shù)(單位:人)15010050
將頻率視為概率,試解決下列問題:
(Ⅰ)從該市市民中任意選取1人,求其收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率;
(Ⅱ)從該市市民中任意選取4人,求至多有1人收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率;
(Ⅲ)若從所抽取的600人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人,再從這12人中隨機(jī)抽取3人,記其中收到的手機(jī)紅包金額超過100元的人數(shù)為X.
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