Question

已知A（1，0），B（0，1），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|

OA

-

OC

|=1，求角α的大��；
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）由A與C的坐標(biāo)，表示出

AC

，已知等式利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則變形，列出關(guān)系式，求出cosα的值，即可求出α的度數(shù)；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知等式，整理得到sinα+cosα=

2

3

，兩邊平方利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)求出2sinαcosα的值，確定出sin2α的值，由2sinαcosα的值小于0，得到α的范圍，確定出2α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos2α的值即可．

解答：解：（1）∵|

OA

-

OC

|=|

AC

|=1，A（1，0），C（cosα，sinα），且α∈（0，π），
∴（cosα-1）²+sin²α=1，
即cos²α+sin²α-2cosα+1=1，
∴cosα=

1

2

，
∵0＜α＜π，
∴α=

π

3

；
（2）∵

AC

•

BC

=

1

3

，
∴（cosα-1，sinα）•（cosα，sinα-1）=cos²α-cosα+sin²α-sinα=1-cosα-sinα=

1

3

，
整理得：sinα+cosα=

2

3

，
即（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

，
∴sin2α=2sinαcosα=-

5

9

＜0，
∴cosα＜0，sinα＞0，
即

π

2

＜α＜

3π

4

，
∴π＜2α＜

3π

2

，
∴cos2α=-

1-sin22α

=-

2 14

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．