Question

10．已知cos2a=$\frac{1}{3}$（cosa+sina），則cosa-sina=±$\sqrt{2}$或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得（cosa+sina）（cosa-sina）=$\frac{1}{3}$（cosa+sina），分類討論，求得cosa-sina 的值．

解答 解：cos2a=cos²a-sin²a=（cosa+sina）（cosa-sina）=$\frac{1}{3}$（cosa+sina），
∴①當(dāng)cosa+sina=0時，tana=-1，a=2kπ-$\frac{π}{4}$，或 a=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z．
若a=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，則sina=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosa=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosa-sina=$\sqrt{2}$；
若 a=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，則sina=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sina=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosa-sina=-$\sqrt{2}$．
當(dāng)②cosa+sina≠0時，可得cosa-sina=$\frac{1}{3}$，
故答案為：±$\sqrt{2}$或$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．