Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）= +x﹣a（a∈R）． （Ⅰ）若直線x=m（m＞0）與曲線y=f（x）和y=g（x）分別交于M，N兩點．設(shè)曲線y=f（x）在點M處的切線為l1 ， y=g（x）在點N處的切線為l2 ．
（�。┊�(dāng)m=e時，若l1⊥l2 ， 求a的值；
（ⅱ）若l1∥l2 ， 求a的最大值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內(nèi)恰有兩個不同的極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ． 若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）∵函數(shù)f（x）=xlnx，∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx， ∵g（x）= +x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，
當(dāng)m=e時，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，
∵l1⊥l2 ， ∴f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，
解得a=﹣ ．
（ii）∵函數(shù)f（x）=xlnx，∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，
∵g（x）= +x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，
∴f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，
∵l1∥l2 ， ∴f′（m）=g′（m）在（0，+∞）上有解，
∴l(xiāng)nm=am在（0，+∞）上有解，
∵m＞0，∴a= ，
令F（x）= （x＞0），則 =0，解得x=e，
當(dāng)x∈（0，e）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，
∴F（x）max=F（e）= ，
∴a的最大值為 ．
（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣ ﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，
∵x1 ， x2為h（x）在其定義域內(nèi)的兩個不同的極值點，
∴x1 ， x2是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1 ， lnx2=ax2 ，
兩式作差，并整理，得：a= ，
∵λ＞0，0＜x1＜x2 ，
由λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1 ， 得1+λ＜lnx1+λlnx2 ，
則1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞ ，∴ ＞ ，
∴l(xiāng)n ＜ ，
令t= ，則t∈（0，1），由題意知：
lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立，
令φ（t）=lnt﹣ ，則φ′（t）= = ，
①當(dāng)λ2≥1時，即λ≥1時，t∈（0，1），φ′（t）＞0，
∴φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
又φ（1）=0，則φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．
②當(dāng)λ2＜1，即0＜λ＜1時，t∈（0，λ2）時，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函數(shù)；
當(dāng)t∈（λ2 ， 1）時，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2 ， 1）上是減函數(shù)．
又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合題意．
綜上，λ的取值范圍是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）（i）f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，當(dāng)m=e時，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2 ， 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a． （ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2 ， 得lnm=am在（0，+∞）上有解，從而a= ，令F（x）= （x＞0），由 =0，得x=e，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出F（x）max=F（e）= ，由此能求出a的最大值．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣ ﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，從而x1 ， x2是方程lnx﹣ax=0的兩個根，進而a= ，推導(dǎo)出 ＞ ，從而ln ＜ ，令t= ，則t∈（0，1），從而lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣ ，則φ′（t）= = ，由此根據(jù)λ2≥1和λ2＜1分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出λ的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．