已知函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，g（x）=mx2（m＞0，x∈R），
①求H（x）=f（x）g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
②當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)，討論曲線y=f（x）與y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）若A，B是曲線y=f（x）上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交曲線y=f（x）于點(diǎn)D，kD是曲線y=f（x）在點(diǎn)D處的切線的斜率，試比較kD與kAB的大�。�
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）①利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得單調(diào)區(qū)間；②當(dāng)m＞0時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程ex=mx2根的個(gè)數(shù)．
 由ex=mx2得
1
m
=
x2
ex
設(shè)h(x)=
x2
ex
，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)與曲線切線斜率間的關(guān)系證明．
解答： 解：（1）①H（x）=f（x）g（x）=mx2ex，則H'（x）=mxex（x+2）＞0得x＞0或x＜-2，
所以H（x）=f（x）g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，-2）．
②當(dāng)m＞0時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程ex=mx2根的個(gè)數(shù)．
 由ex=mx2得
1
m
=
x2
ex
設(shè)h(x)=
x2
ex
，h′(x)=
x(2-x)
ex
，
所以在R上不間斷的函數(shù)h(x)=
x2
ex
在（-∞，0）上遞減，在（0，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，
又因?yàn)?span id="tebrhxu" class="MathJye">m＞0，h(0)=0，h(2)=
4
e2
，h(4)=
16
e4
，h(-2)=4e2，
所以當(dāng)h(2)＜
1
m
≤h(-2)時(shí)一公共點(diǎn)，解得
1
4e2
≤m＜
e2
4
，
當(dāng)0＜
1
m
＜h(4)或
1
m
=h(2)時(shí)兩公共點(diǎn)，解得m=
e2
4
或m＞
e4
16
，
當(dāng)h(4)≤
1
m
＜h(2)時(shí)三公共點(diǎn)，解得
e2
4
＜m≤
e4
16
；
（2）設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）則kAB=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，kD=f′(
x1+x2
2
)，
則kAB-kD=
ax2-ax1
x2-x1
-a
x1+x2
2
•lna=
a
x2+x1
2
x2-x1
[a
x2-x1
2
-a
x1-x2
2
-(x2-x1)lna]，
設(shè)
x2-x1
2
=t＞0，L（x）=at-a-t-2tlna，則L'（x）=lna（at+a-t-2），
①當(dāng)a＞1時(shí)，at＞1，lna＞0，則L'（t）=（lna）（at+a-t-2）＞0，
所以L（t）在（0，+∞）遞增，則L（t）＞L（0）=0，
又因?yàn)?span id="zcsbgbf" class="MathJye">
a
x1+x2
2
x2-x1
＞0，所以
a
x1+x_
2
x2-x1
•[a
x2-x1
2
-a
x1-x2
2
-(x2-x1)lna]＞0，
所以kAB-kD＞0；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜at＜1，lna＜0
則L'（t）=lna（at+a-t-2）＜0，所以L（t）在（0，+∞）遞減，則L（t）＜L（0）=0，
又因?yàn)?span id="pijglfg" class="MathJye">
a
x2+x1
2
x2-x1
＞0，所以
a
x2+x1
2
x2-x1
[a
x2-x1
2
-a
x1-x2
2
-(x2-x1)lna]＜0，
所以kAB-kD＜0，
綜上：當(dāng)a＞1時(shí)kAB＞kD；當(dāng)0＜a＜1時(shí)kAB＜kD．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、求曲線曲線的斜率等問題，邏輯思維強(qiáng)，考查學(xué)生的分析問題，解決問題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（
a
x
）-x，若對任意的x∈（0，1），有不等式f（1-x）f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=-f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為“美麗函數(shù)”．下列所給出的五個(gè)函數(shù)：
①y=x2；
②y=
1
x-1
；
③f（x）=ln（2x+3）；
④y=2x-2-x；
⑤y=2sinx-1．
其中是“美麗函數(shù)”的序號(hào)有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)F（x）=(x2+
1
x
)2+(x+
1
x2
)2在區(qū)間（0，
3
2
]上的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+（a+1）x2+（a+1）x+a，在其定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、-1＜a＜2
B、a＞2或a＜-1
C、a＜-1
D、a＞2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在地面上某處，測得塔頂?shù)难鼋菫棣�，由此處向塔�?0米，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔走10
3
米，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，試求角θ的度數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
的夾角為60°，且|
a
|=2，|
b
|=1，求
a
-
b
與
a
+2
b
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），且
5
|AB|=2，
（1）求cos（α-β）的值；
（2）設(shè)α∈（0，
π
2
），β∈（
-π
2
，0），且cos（
5π
2
-β）=-
-5
13
，求sinα的值．

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同步練習(xí)冊答案