【題目】已知直線與雙曲線相交于兩點,為坐標原點.
(1)若,求實數(shù)的值;
(2)是否存在實數(shù),使得兩點關于對稱?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由見解析
【解析】
(1)將直線的方程代入雙曲線方程,利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算即可求得的值;
(2)假設存在實數(shù),根據(jù)直線的斜率關系求得的值,由(1)求得,利用中點坐標公式,即可求得的中點坐標,驗證中點是否在直線上.
解:(1)直線與雙曲線聯(lián)立,消去得①,
由,且,
得,且;設,、,,
由,所以,又,,
,
,
即,
,解得.
經檢驗,滿足題目條件,
,求實數(shù)的值;
(2)假設存在實數(shù),使、關于對稱,則直線與垂直,.
直線的方程為.將代入③得,
中點橫坐標為2,縱坐標為.
但中點不在直線上,
即不存在實數(shù),使得、關于直線對稱.
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【題目】有次水下考古活動中,潛水員需潛入水深為30米的水底進行作業(yè),其用氧量包含以下三個方面:①下潛時,平均速度為每分鐘米,每分鐘的用氧量為升;②水底作業(yè)需要10分鐘,每分鐘的用氧量為0.3升;③返回水面時,速度為每分鐘米,每分鐘用氧量為0.2升;設潛水員在此次考古活動中的總用氧量為升;
(1)將表示為的函數(shù);
(2)若,求總用氧量的取值范圍.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,,四邊形ACEF為正方形,且平面平面ACEF.
(1)證明:;
(2)求平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓長軸長為短軸長的兩倍,連結橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4,直線過點,且與橢圓相交于另一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若線段長為,求直線的傾斜角;
(3)點在線段的垂直平分線上,且,求的值.
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【題目】已知橢圓:的左頂點為,右焦點為,斜率為1的直線與橢圓交于,兩點,且,其中為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設過點且與直線平行的直線與橢圓交于,兩點,若點滿足,且與橢圓的另一個交點為,求的值.
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【題目】實數(shù)a,b滿足ab>0且a≠b,由a、b、、按一定順序構成的數(shù)列( 。
A. 可能是等差數(shù)列,也可能是等比數(shù)列
B. 可能是等差數(shù)列,但不可能是等比數(shù)列
C. 不可能是等差數(shù)列,但可能是等比數(shù)列
D. 不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列
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【題目】 已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點在軸的正半軸上,過點的直線與拋物線相交于,兩點,且滿足
(1)求拋物線的方程;
(2)若是拋物線上的動點,點在軸上,圓內切于,求面積的最小值.
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