Question

已知函數(shù)f（x）=ax++c（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1
（1）用a表示出b，c；
（2）求證：當(dāng)0＜a≤；時(shí)，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立；
（3）證明：1+++…+＞ln（n+1）+．

Answer 1

（1）解：∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
∴切線的斜率k=1，f（1）=1-1=0，即切點(diǎn)為（1，0），
∵，∴f^′（1）=a-b=1．
又f（1）=a+b+c=0，聯(lián)立，解得b=a-1，c=1-2a．
∴b=a-1，c=1-2a．
（2）證明：令g（x）=f（x）-lnx，則=a==，
令g^′（x）=0，則x=1或．
∵，∴，
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g^′（x）≥0．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）≤g（1）=f（1）-ln1=a+b+c-0=0，
∴f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立．
（3）由（2）可知：當(dāng)0＜a≤；時(shí)，≤lnx在（0，1]上恒成立；
令a=，，則，
化為．
∴，
，
…
．
將上面的等式相加得到≥2ln（n+1）．
∴，
即．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程即可得出；
（2）令g（x）=f（x）-lnx，通過求導(dǎo)，利用其單調(diào)性即可證明；
（3）由（2）可知：當(dāng)0＜a≤；時(shí)，≤lnx在（0，1]上恒成立；令a=，，則，化為．利用“累加求和”即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、善于把問題恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)證明的問題是解題的關(guān)鍵．