Question

如圖，正方體ABCD—∠A₁B₁C₁D₁中

(1)求A₁C₁與B₁C所成角的大��；

(2)求A₁C與AD₁所成角的大��；

(3)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A₁C₁與EF所成角大�。�

(4)求AD₁與EF所成角大小．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　求異面直線所成的角關(guān)鍵是“找角”，在找角的過程中要多結(jié)合幾何體的性質(zhì)，尤其是正方體隱含著許多平行關(guān)系，另外中點(diǎn)又往往和中位線的性質(zhì)緊密相連． 　　解答　　(1)如圖，連結(jié)AC，AB1， 　　由ABCDA1B1C1D1是正方體， 　　知AA1C1C為平行四邊形， 　　所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的銳角或直角就是A1C1與B1C所成的角．AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝， 　　即A1C1與B1C所成角為 　　(2)如圖延長BC到M，使CM＝BC， 　　連結(jié)D1M、AM，由BC∥A1D1且BC＝A1D1， 　　CM∥A1D1且CM＝A1D1可知A1CMD1是平行四邊形， 　　所以D1M∥A1C， 　　從而D1M與AD1所成的銳角或直角就是A1C與AD1所成角．設(shè)正方體的棱長為a，則AD1＝a， 　　AC1＝a，AM＝a， 　　由余弦定理可知cos∠AD1M＝＝0， 　　所以∠AD1M＝，所以A1C與AD1所成角為 　　另解∵CD⊥平面A1D 　　∴直線A1C在平面A1D內(nèi)的射影為直線A1D 　　又∵A1D⊥AD1， 　　∴由三垂線定理可知A1C⊥AD1 　　∴A1C與AD1所成角為 　　(3)如圖連結(jié)AC、BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四邊形， 　　∴AC∥A1C1 　　∴AC是與EF所成的銳角或直角就是A1C1與EF所成的角 　　∵EF是△ABD的中位線 　　∴EF∥BD 　　又∵AC⊥BD， 　　∴EF⊥AC，即所求角為． (4)如圖連結(jié)BD、B1D1，由DD1∥BB1且DD1＝BB1可知B1BDD1是平行四邊形，∴BD∥B1D1 　　∴AD1與B1D1所成的銳角或直角即為AD1與EF所成角 　　連結(jié)AB1，由AB1＝AD1＝B1D1， 　　知△AB1D1是正三角形 　　∴∠AD1B1＝，即所求角為． 　　評(píng)析　　求兩條異面直線所成的角需將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，這一過程一般是通過平移或補(bǔ)形實(shí)現(xiàn)的，并且盡量以平移為主．在平移的過程中，有時(shí)不可能一次實(shí)現(xiàn)，這時(shí)需多結(jié)合幾何體(本題為正方體)的性質(zhì)．另外，有些問題表面看來雖然是成角問題，但實(shí)際上是垂直問題，例如第(2)問，利用三垂線定理(參看另解)非常簡捷．