Question

（本題滿分15分）
把正整數(shù)按從小到大順序排列成下列數(shù)表，數(shù)表中第行共有個(gè)正整數(shù)：

設(shè)是位于數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個(gè)數(shù)
（1）若，求的值；
（2）記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1） 
（2）              
（3）猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，    
證明：（法一）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用                       
（法二）數(shù)學(xué)歸納法

第一問，利用已知的數(shù)字可知到第行共有個(gè)數(shù)
時(shí)，
時(shí)，
所以，
第二問中，
，累加法得到
第三問中，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，并用數(shù)學(xué)歸納法得證。
解:（1）到第行共有個(gè)數(shù)
時(shí)，
時(shí)，
所以，               （3分）
（2）

由疊加可得                 （3分）
（3）
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，      （3分）
證明：（法一）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用                       （6分）
（法二）數(shù)學(xué)歸納法