【題目】在平面直角坐標系中已知橢圓過點,其左、右焦點分別為,離心率為.

1)求橢圓E的方程;

2)若A,B分別為橢圓E的左、右頂點,動點M滿足,且MA交橢圓E于點P.

i)求證:為定值;

ii)設PB與以PM為直徑的圓的另一交點為Q,問:直線MQ是否過定點,并說明理由.

【答案】(1) (2) i)證明見解析,定值為4 ii)直線過定點.

【解析】

1)由題意得離心率公式和點滿足的方程,結合橢圓的的關系,可得,進而得到橢圓方程;
2)(i)設,求得直線MA的方程,代入橢圓方程,解得點P的坐標,再由向量的數(shù)量積的坐標表示,計算即可得證;
ii)直線MQ過定點O00).先求得PB的斜率,再由圓的性質可得MQPB,求出MQ的斜率,再求直線MQ的方程,即可得到定點.

解:(1)易得

解得

所以橢圓E的方程為

2)設,

①易得直線的方程為:,

代入橢圓得,

得,,從而

所以示,

②直線過定點,理由如下:

依題意,,

得,

的方程為:,即,

所以直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓的左右頂點,點為橢圓上一點,點關于軸的對稱點為,且.

1)若橢圓經過圓的圓心,求橢圓的方程;

2)在(1)的條件下,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點,設為橢圓上一點,且滿足為坐標原點),當時,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某生物探測器在水中逆流行進時,所消耗的能量為EcvnT,其中v為行進時相對于水的速度,T為行進時的時間(單位:h),c為常數(shù),n為能量次級數(shù),如果水的速度為4km/h,該生物探測器在水中逆流行進200km

1)求T關于v的函數(shù)關系式;

2)①當能量次級數(shù)為2時,求探測器消耗的最少能量;

②當能量次級數(shù)為3時,試確定v的大小,使該探測器消耗的能量最少.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】從某工廠生產的某種產品中抽取1000件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖:

(1)求這1000件產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)

(2)由頻率分布直方圖可以認為,這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布,其中以近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差

(。├迷撜龖B(tài)分布,求;

(ⅱ)某用戶從該工廠購買了100件這種產品,記表示這100件產品中質量指標值為于區(qū)間(127.6,140)的產品件數(shù),利用(。┑慕Y果,求

附:.若,則,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某人沿固定路線開車上班,沿途共有個紅綠燈,他對過去個工作日上班途中的路況進行了統(tǒng)計,得到了如表的數(shù)據(jù):

上班路上遇見的紅燈數(shù)

天數(shù)

若一路綠燈,則他從家到達公司只需用時分鐘,每遇一個紅燈,則會多耗時分鐘,以頻率作為概率的估計值

1)試估計他平均每天上班需要用時多少分鐘?

2)若想以不少于的概率在早上點前(含點)到達公司,他最晚何時要離家去公司?

3)公司規(guī)定,員工應早上點(含點)前打卡考勤,否則視為遲到,每遲到一次,會被罰款.因某些客觀原因,在接下來的個工作日里,他每天早上只能從家出發(fā)去公司,求他因遲到而被罰款的期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個居民月均用水量標準:用水量不超過a的部分按照平價收費,超過a的部分按照議價收費).為了較為合理地確定出這個標準,通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量(單位:噸),制作了頻率分布直方圖,

(Ⅰ)用該樣本估計總體:

1)估計該市居民月均用水量的平均數(shù);

2)如果希望86%的居民每月的用水量不超出標準,則月均用水量a的最低標準定為多少噸?

(Ⅱ)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機調查3位居民的月均用水量,其中月均用水量不超過2.5噸的人數(shù)為X,求X的分布列和均值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為ab、c,且acosB+bcosA2ccosB

1)若a3,,求c的值;

2)若,求fA)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某互聯(lián)網公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃,收集了近個月廣告投入量單位:萬元)和收益單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表

月份

廣告投入量

收益

他們分別用兩種模型①,分別進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值

Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應選擇哪個模型?并說明理由;

Ⅱ)殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除

ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程;

ⅱ)若廣告投入量時,該模型收益的預報值是多少?

附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓,隨機調查了80名新生,得到如下2×2列聯(lián)表

愿意

不愿意

合計

x

5

M

y

z

40

合計

N

25

80

1)寫出表中x,yz,M,N的值,并判斷是否有99.9%的把握認為愿意參加軍訓與性別有關;

2)在被調查的不愿意參加軍訓的學生中,隨機抽出3人,記這3人中男生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望.

參考公式:

附:

PK2k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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